NOTIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LES PROPRIÉTÉS DES GAZ PARFAITS

I. COMPRESSIBILITÉ DES GAZ PARFAITS :

La compression d'un gaz résulte de l'augmentation de pression par diminution de son volume.

• Loi de Boyle-Mariotte :

Si la compression du gaz est isotherme ( à température constante), le produit de la pression absolue du gaz et de son volume est constant :

p · V = Constante ( à θ = constante) avec p en [Pa] ; V en [m³ ]

Autrement dit : le volume occupé par une même masse de gaz, à température constante, est inversement proportionnel à la pression supportée par ce gaz.

On peut donc écrire pour une température donnée constante :
 p₁ · V₁ = p₂ · V₂ = p₃ · V₃ = p_n · V_n ou p₁ / p₂ = V₂ / V₁

Un gaz est dit parfait s'il suit exactement la loi de Boyle-Mariotte.

Les gaz réels ne suivent pas exactement cette loi, mais dans les applications courantes, il sera possible sans faire d'erreur appréciable, de considérer les gaz réels comme parfaits.
Le produit p · V représente une énergie car : Pa · m³ = N · m = J (Joule)

Si on se réfère au volume massique de gaz, la constante de Mariotte représente un travail par unité de masse ou une énergie massique : Pa · m³/kg = J/kg

• Loi de Charles :

Si on fait subir à une masse de gaz une transformation isochore (à volume constant) obtenue en faisant varier la température du gaz, la pression augmente avec la température :
 p = p₀ ( 1 + α · θ )
 avec p₀ pression du gaz à 0°C , p pression du gaz à θ °C et α coefficient moyen d'augmentation de pression à volume constant.

Ce coefficient vaut pour tous les gaz parfaits : α = 1 / 273,15 = 3,661 · 10^-3 °C^–1

La loi de Charles permet de définir une autre relation importante.

Si nous considérons une masse gazeuse au zéro absolu (θ = – 273,15 °C), on a :
 p = p₀ · ( 1 – 273,15/273,15) = 0 Pa (Au zéro absolu, la pression des gaz est nulle).

Si on fait intervenir la température absolue, la loi de Charles s'écrit : p = p₀ · (1 + θ/ 273,15 )
p = p₀ · [(273,15 + θ ) / 273,15 ] donc p = p₀ · T / 273,15

Entre un état initial 1 et un état final 2, on peut donc écrire : p₁ / p₂ = T₁ / T₂

• Loi de Gay-Lussac :

Si l'on fait subir à une masse de gaz une transformation isobare (à pression constante) obtenue en faisant varier la température du gaz, le volume augmente avec la température :
 V = V₀ · ( 1 + α · β)

C'est la loi fondamentale de la dilatation des gaz à pression constante.

β est le coefficient de dilatation volumique à pression constante.

L'expérience montre que α = β donc α = β = 1/ 273,15 = 3,661 · 10^-3 °C^–1

En reprenant la même démarche que celle ci-dessus, on peut écrire que :
 V₁ / V₂ = T₁ / T₂

II. ÉQUATION CARACTÉRISTIQUE DES GAZ PARFAITS :

Considérons deux transformations suivantes appliquées à une même masse quelconque de gaz :

• Première transformation :
  • état initial p₀,V₀ et T₀ = 273,15 K
  • état final p₀,V₁ et T

• Deuxième transformation :
  • état initial p₀, V₁ et T
  • état final p ,V et T

Appliquons la loi de Gay-Lussac à la première transformation :
 V₁ = V₀ · ( 1 + θ / 273,15 ) = V₀ · T / 273,15

La loi de Boyle-Mariotte à la deuxième :
 p₀. V₁ = p · V donc V₁ = p · V / p₀

Si nous remplaçons la 2^èmeexpression dans la 1^ère, on a :
 p · V = p₀.V₀ · T / 273,15 = p₀ · V₀ · T / T₀

On obtient donc la relation générale:
 p₀ · V₀ / T₀ = p · V/ T (Le premier terme de l'égalité est constant).

On peut écrire : p · V / T = Constante

• Constante des gaz parfaits :

Si on considère une masse de gaz de 1 kg, la valeur p₀ · V₀ / 273,15 est une constante caractéristique de la nature du gaz.

Appelons r cette constante : r = p₀ · V₀ / T₀.

L'expression se réfère au volume par unité de masse c'est à dire le volume massique.

On peut donc écrire que :  p · v" = r · T
avec p pression absolue du gaz en [Pa] , v" volume massique en [m³/kg], T température absolue du gaz en [K].

Dans cette équation, on retrouve la loi de Mariotte et celle de Gay-Lussac.

Unité et valeur de r :

La constante r, caractéristique de la nature du gaz, représente le travail ou l'énergie qu'il faut fournir à une masse de 1 kg de gaz pour élever sa température de 1 K :

r = p · v" / T avec r : constante en J/kg.K

• Constante caractéristique des gaz parfaits :

Si on se réfère à la masse correspondant au volume molaire normal soit 22,41383 m³ à 0 °C et 101325 Pa, la constante r prend alors une valeur universelle R qui est la même pour tous les gaz.

Le calcul de R donne : R = p₀ · V₀ / T₀ = 101325 · 22,41383 / 273,15
soit R = 8314,41 J/kmole.K (r dépend du gaz, R est la même pour tous les gaz).

III. ÉQUATION CARACTÉRISTIQUE DANS LE CAS GÉNÉRAL :

• Équation caractéristique :

Pour une masse m quelconque de gaz, l'équation caractéristique des gaz parfaits s'écrit : p · V = m · r · T

Si M est la masse molaire du gaz, c'est à dire la masse d'un volume de 22,4 m³ de ce gaz aux conditions normales de température et de pression, le nombre de kilo moles de gaz est égal à : n = m / M

On en déduit : p · V = n · R · T avec p : pression absolue du gaz en [Pa], V: Volume de n kilo mole en [m³] , R : constante universelle (8314 J/kmole.K), T: Température absolue en [K].

• Masse volumique d'un gaz :

Le volume occupé par n moles de gaz est :
 V = n · R · T / p et m = n / M

La masse volumique a pour expression : ρ = m / V

Donc, on peut écrire : ρ = M · p / R · T

IV.MÉLANGE DE GAZ :

L'équation caractéristique étant indépendante de la nature du gaz, on peut admettre qu'elle s'applique à un mélange de gaz parfaits :
 p · V = (n₁ + n₂ + n₃ + ... ) . R . T = Σ (n · R · T)

• Loi de Dalton :

Dans un mélange, les gaz diffusent rapidement les uns dans les autres de sorte que chaque gaz occupe tout le volume V en exerçant sa pression propre appelée "Pression partielle" .

La pression du mélange est égale à la somme des pressions partielles de chaque gaz :
 p = p₁ + p₂ + p₃ + ... + p_n = Σ pi

V. CAPACITÉ THERMIQUE MASSIQUE :

• Capacité thermique à volume constant :

La capacité thermique massique à volume constant est la quantité de chaleur qu'il faut fournir à 1 kg de gaz pour élever sa température de 1 K sans qu'il y ait changement de volume.

Dans une transformation isochore, la variation d'énergie interne de la masse de 1 kg de gaz est donnée par la relation :
 dU = Cv · dT ou encore : U₂ – U₁ = Cv · ( T₂ – T₁)

L'énergie fournie au gaz sous forme de chaleur a pour but de modifier son énergie interne.
Cv varie très peu avec la température de sorte qu'on peut pratiquement la considérer constante pour de faibles écarts de température.

• Capacité thermique à pression constante :

La quantité de chaleur que l'on a fourni à 1 kg de gaz pour élever sa température de 1 K à pression constante est égale à la somme de l'énergie que l'on aurait fourni à 1 kg de ce gaz pour l'élever de 1 K à volume constant et du travail que ce gaz a effectué pour maintenir sa pression constante :

dQ = Cv · dT + W

avec  dT : élévation de température en [K]
    W = p · dV où p est constante et dV la variation de volume

Or , on peut écrire que : p · dV = r · dT
donc dQ = Cv · dT + p · dV = Cv · dT + r · dT = Cp · dT

C'est à dire : Cp = Cv + r ou r = Cp – Cv (Cette dernière relation a été définie par MAYER).

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⇒ Propriétés et caractéristiques de l'Air Humide